Quando risolvi equazioni algebriche, ci sono alcuni tipi di equazioni che vedrai più frequentemente di altri. Potresti trovare utile identificare il tipo di equazione su cui stai lavorando, in modo da poter determinare le proprietà di quell’equazione. Conoscere le proprietà specifiche per il tipo di equazioni che stai risolvendo può aiutarti a risolvere il problema. In questo articolo, discutiamo cosa sono le equazioni, perché sono importanti, terminologia delle equazioni, diversi tipi di equazioni, principali categorie di equazioni ed esempi di equazioni.
Un’equazione è un’affermazione matematica che imposta il valore di due espressioni uguali l’una all’altra. In altre parole, è una frase matematica che dice “questo è uguale a quello”. Sembra un’espressione matematica sul lato sinistro, un segno di uguale nel mezzo e un’espressione matematica sul lato destro. È molto comune che la corsa giusta dell’equazione sia zero.
Ecco alcuni esempi di equazioni semplici e più complesse:
3 + 5 = 4 + 4.
dy/dx + x5y = x5y7
20×2 – 17x – 63 = 0
Quando si risolve un’equazione con variabili, si determina il valore che le variabili devono avere per rendere l’equazione vera. Una volta trovato il valore delle variabili e le variabili soddisfano l’equazione rendendola vera, questa è chiamata soluzione. Le equazioni di identità sono vere per tutti i valori della variabile. Le equazioni condizionali sono vere solo per valori specifici della variabile.
Anche se potrebbe non essere ovvio, le equazioni matematiche sono una parte cruciale del mondo di oggi. Senza equazioni, non ci sarebbero molte delle invenzioni moderne che usi quotidianamente, come computer, televisori, satelliti e GPS. Le equazioni matematiche sono anche essenziali per molti settori come l’economia, la medicina, l’ingegneria, la fisica e l’informatica, solo per citarne alcuni. Ci sono anche alcune equazioni famose che hanno influenzato notevolmente il modo in cui vivi la tua vita. Ecco alcuni esempi:
Il teorema di Pitagora: Questa equazione, a2 + b2 = c2, è il nucleo della geometria, fondamento della trigonometria e collegamenti all’algebra. A causa di esso c’è la creazione di mappe, il rilevamento accurato e la navigazione. È ancora usato oggi per la triangolazione per individuare le posizioni con la navigazione GPS.
Legge universale di gravitazione di Newton: Questa equazione, F = G (m1m2/d2), è usata per descrivere come funziona il mondo ed è essenziale per capire come interagiscono gli oggetti. È ancora oggi utilizzato per progettare orbite, satelliti, sonde e percorsi ottimali per il lancio di missioni spaziali.
L’origine dei numeri complessi: Questa equazione, i2 = -1, è importante per la creazione della maggior parte della tecnologia moderna, e molte invenzioni non esisterebbero senza di essa. È ancora usato oggi per cose come fotocamere digitali, ingegneria, aerei, analisi complesse e teoria matematica.
La teoria della relatività di Einstein: Questa equazione, E = mc2, è probabilmente l’equazione più famosa di tutta la storia, poiché ha cambiato totalmente la visione della realtà e della materia. È ancora usato oggi con armi nucleari e sistemi di posizionamento globale.
La teoria dell’informazione di Shannon: Questa equazione, H = – ∑ p(x) log p(x), è ciò che ha portato all’era dell’informazione e l’ingegnere la usa per quasi tutto ciò che coinvolge il rilevamento degli errori nella codifica. È ancora usato oggi dai CD alla comunicazione digitale a Internet.
Per comprendere le equazioni matematiche, è anche necessario comprendere i termini usati per descriverle e spiegarle. Quando si parla di equazioni algebriche, si usano frequentemente i seguenti termini matematici:
Espressione: Numeri, simboli e segni di operazione raggruppati per mostrare un valore.
Funzione: Una relazione matematica in cui ogni input ha un singolo output.
Variabile indipendente: Valore di input di una funzione.
Variabile dipendente: Valore di output di una funzione
Variabile: Un simbolo che rappresenta un valore sconosciuto, in genere una lettera come x o y.
Termine: Un singolo numero o variabile o più numeri e variabile moltiplicati insieme.
Costante: Un valore fisso, ad esempio un numero intero, a volte rappresentato da una lettera.
Coefficiente: Numero utilizzato per moltiplicare una variabile, spesso visualizzato prima della variabile.
Esponente: Numero che indica l’operazione di elevazione di un numero di base a una potenza.
Ecco i tipi più comuni di equazioni algebriche:
Equazioni esponenziali: Le variabili sostituiscono gli esponenti.
Equazioni lineari: Ogni termine è una costante o il prodotto di una costante e di una singola variabile.
Equazioni logaritmiche: Un logaritmo influenza sempre l’ignoto.
Equazioni polinomiali: I termini contengono indeterminati e coefficienti o variabili.
Equazioni polinomiali irrazionali: C’è almeno un polinomio sotto il segno radicale.
Equazioni quadratiche: Una variabile contiene un’altra variabile con un esponente pari a due.
Equazioni cubiche: La somma più alta di esponenti variabili in qualsiasi termine è tre.
Equazioni quartiche: La somma più alta di esponenti variabili in qualsiasi termine è quattro.
Equazioni quintiche: La somma più alta di esponenti variabili in qualsiasi termine è cinque.
Equazioni radicali: L’esponente variabile massimo è 12 e c’è più di un termine.
Equazioni razionali: Ci sono espressioni razionali.
Equazioni trascendentali: Ci sono funzioni trascendentali.
Equazioni trigonometriche: Ci sono funzioni trigonometriche.
Esistono cinque categorie principali di equazioni algebriche in cui ogni categoria ha un diverso input atteso e si traduce in un output con un’interpretazione diversa. È possibile distinguere ciascuna delle cinque categorie in base alla posizione della variabile, al comportamento dei loro grafici e ai tipi di funzioni e operatori utilizzati. Ecco un po ‘su ciascuna delle cinque categorie algebriche:
Le equazioni polinomiali hanno un’espressione polinomiale su ciascun lato del segno di uguale. I polinomi hanno termini variabili ed esponenti di numeri interi. È possibile classificare ogni equazione polinomiale in base al numero di termini nell’espressione:
Un termine è un monomiale.
Due termini è un binomio.
Tre termini è un trinomio.
E così via…
È inoltre possibile classificare ogni equazione polinomiale in base al suo grado, che è il numero esponente più alto nell’espressione:
Un grado è lineare.
Due gradi è quadratico.
Tre gradi sono cubici.
E così via…
Ad esempio, questo polinomio sarebbe un binomio cubico: x3-5. E questo polinomio sarebbe un trinomio quadratico: y2 – y – 4.
Le equazioni esponenziali hanno un’espressione esponenziale su ciascun lato del segno di uguale. Le equazioni esponenziali sono come le equazioni polinomiali, tranne che i loro esponenti hanno un termine variabile. È possibile classificare le funzioni esponenziali come che mostrano una crescita esponenziale, quando la variabile indipendente ha un coefficiente positivo, o che mostrano un decadimento esponenziale, quando la variabile indipendente ha un coefficiente negativo. Le equazioni per la crescita esponenziale possono dimostrare la diffusione di malattie, la crescita della popolazione o l’interesse composto. Le equazioni per il decadimento esponenziale possono dimostrare fenomeni scientifici come il decadimento radioattivo.
Ad esempio, un’espressione esponenziale può essere simile alla seguente: x = 6(y-8) + 12.
Le equazioni logaritmiche hanno un’espressione logaritmica su ciascun lato del segno di uguale. L’inverso delle equazioni esponenziali sono le equazioni logaritmiche. La base logaritmica di un numero è uguale all’esponente a cui si alza la base per ottenere il numero. Ad esempio, il log2 di 25 è 5 perché 2 alla quinta potenza è 25. La base logaritmica più comune è il numero trascendentale “e” che viene spesso chiamato logaritmo naturale. Molti tipi di scale di intensità utilizzano logaritmi, come la scala dei decibel per misurare il suono o la scala Richter per misurare i terremoti. La scala dei decibel ha una base logaritmica di 10, quindi se un suono aumenta di intensità di un decibel, è un aumento di dieci volte.
Ad esempio, se si dispone dell’espressione esponenziale x = 4y, l’espressione inversa o logaritmica sarebbe x = log4 y.
Le equazioni razionali hanno un’espressione razionale su ciascun lato del segno di uguale. Le equazioni algebriche sono razionali quando assumono la forma di b(x) / d(x), dove b(x) e d(x) sono entrambi polinomi. Le equazioni razionali hanno spesso asintoti, dove i valori x e y su un grafico delle equazioni si avvicinano, ma non raggiungono mai.
Un’equazione razionale con un asintoto verticale ha un valore x che il grafico non raggiunge mai, e il valore y può diventare negativo o positivo all’infinito quando il valore x si avvicina all’asintoto. Un’equazione razionale con un asintoto orizzontale ha un valore y che il grafico non raggiunge mai, e il valore x può diventare negativo o positivo all’infinito quando il valore y si avvicina all’asintoto.
Ad esempio, un’espressione razionale può assomigliare a questa: (y-4) / (y2 – 6y + 3).
Le equazioni trigonometriche hanno un’espressione trigonometrica su ciascun lato del segno di uguale. Le funzioni trigonometriche di tan, cos, sin cot, csc e sec sono in equazioni trigonometriche e descrivono il rapporto tra due lati di un triangolo rettangolo. La misura dell’angolo è la variabile o l’input indipendente e il rapporto è la variabile o l’output dipendente. Un fatto unico sulle funzioni trigonometriche è che sono periodiche, il che significa che dopo un certo periodo di tempo il loro grafico si ripete.
Ad esempio, l’espressione trigonometrica x = peccato y descrive il rapporto tra il lato opposto di un triangolo rettangolo e la sua ipotenusa con una misura dell’angolo di y.
Ecco alcuni esempi di equazioni algebriche:
Ecco un’equazione che puoi risolvere in un solo passaggio:
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4
Ecco un’equazione che puoi risolvere in due passaggi:
3x + 4 = 16
3x = 12
x = 12/3
x = 4
Ecco un’equazione in più passaggi che richiede più di due passaggi:
4x + 3 = x + 12
4x – x = 12 – 3
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Ecco un’equazione lineare:
(2x+5) / (x+4) = 1
2x+5 = 1(x+4)
2x+5 = x+4
2x-x = 4-5
x = -1
Ecco un’altra equazione lineare:
x+12 = x2 -2
x2+2x+1 = x2-2
x2-x2+2x+1 = -2
2x+1 = -2
2x+4 = 0
2(x+2) = 0
x+2 = 0
x = -2
Ecco un’equazione radicale:
√x-7 = 3
(√x-7)2 = 32
x-7 = 9
x = 16
Ecco un’altra equazione radicale:
√2x-2 = x-1
(√2x-2)2 = (x-1)2
2x-2 = (x-1)(x-1)
2x-2 = x2-2x+1
0 = x2-4x+3
0 = (x-1)(x-3)
Ecco un’equazione razionale:
5/x – 5/6 = 5/3
(6x) 5/x – 5/6 = 5/3 (6x)
30 – 5x = 10X
(+5x) 30 – 5x = 10X (+5x)
30 = 15x
2 = x
Ecco un’equazione logaritmica:
log(2x) = 4
10log(2x) = 104
2x = 104
2x = 10.000
x = 5.000
Ecco un’altra equazione logaritmica:
2+5log3(x-1) = 12
5log3(x-1) = 10
log3(x-1) =2
3log3(x-1) = 32
x-1 = 32
x-1 = 9
x = 10
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